Геометрия, 7–11 классы
Треугольники, четырёхугольники, окружность, площади, векторы, координаты и стереометрия — с чертежами.
7 класс
Начальные геометрические сведения
- Длина отрезка и сумма его частейЕсли точка лежит на отрезке, его длина равна сумме длин частей. Находим целый отрезок или одну из частей.Решать
- Середина отрезкаСередина делит отрезок на две равные части. Находим длины частей и расстояние между серединами отрезков.Решать
- Угол и луч, проведённый внутри углаЛуч внутри угла делит его на два угла; градусная мера всего угла равна сумме мер частей.Решать
- Биссектриса углаБиссектриса делит угол пополам. Находим половинки угла, весь угол и угол между биссектрисами.Решать
- Окружность: радиус, диаметр, хордаОсновные понятия окружности: радиус, диаметр, хорда. Периметры и углы в треугольниках из двух радиусов.Решать
Смежные и вертикальные углы
Параллельные прямые
- Накрест лежащие, соответственные и односторонние углыНазвания пар углов, которые получаются при пересечении двух прямых секущей, и их свойства при параллельных прямых.Решать
- Параллельные прямые и секущая: находим углыСвойства углов при параллельных прямых: накрест лежащие и соответственные равны, односторонние дают 180°.Решать
- Признаки параллельности прямыхПо равенству накрест лежащих и соответственных углов или по сумме односторонних решаем, параллельны ли прямые.Решать
Треугольники
- Сумма углов треугольникаСумма углов любого треугольника равна 180°. Находим неизвестный угол, решаем задачи с отношениями и уравнениями.Решать
- Внешний угол треугольникаВнешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Решать
- Виды треугольников по угламОстроугольный, прямоугольный, тупоугольный: определяем вид треугольника по его углам.Решать
- Равнобедренный треугольник: углыУглы при основании равнобедренного треугольника равны; ищем угол при вершине и при основании.Решать
- Равнобедренный треугольник: стороны и периметрПериметр и стороны равнобедренного треугольника; случаи, когда непонятно, какая сторона — основание.Решать
- Неравенство треугольникаСумма двух сторон треугольника всегда больше третьей. Проверяем, существует ли треугольник, и ищем возможную длину стороны.Решать
- Равные треугольники: соответственные элементыВ равных треугольниках соответственные стороны и углы равны. Находим элементы по записи равенства треугольников.Решать
- Признаки равенства треугольниковПо отмеченным на чертеже равным элементам выбираем признак равенства — или понимаем, что данных недостаточно.Решать
- Медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольникаВ равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, — один и тот же отрезок.Решать
- Прямоугольный треугольник: острые углы, катет против 30°Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°; катет против угла 30° вдвое короче гипотенузы; медиана к гипотенузе — её половина.Решать
- Углы между биссектрисами и высотами треугольникаУгол между высотой и биссектрисой из одной вершины, угол между биссектрисами, угол между высотами — через углы треугольника.Решать
- Соотношение между сторонами и углами треугольникаПротив большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона.Решать
8 класс
Параллелограмм
- Свойства параллелограмма: углы и стороныПротивоположные стороны и углы параллелограмма равны, соседние углы дают 180°. Находим углы, стороны и периметр.Решать
- Биссектриса угла параллелограммаБиссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: находим отрезки сторон и периметр.Решать
- Диагонали параллелограммаДиагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Находим отрезки диагоналей и периметры треугольников.Решать
Четырёхугольники
- Прямоугольник: диагонали и углыДиагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам; из этого — равнобедренные треугольники и углы между диагоналями.Решать
- Ромб: стороны, углы, диагоналиУ ромба все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Находим углы, периметр, стороны.Решать
- Трапеция: углыУглы трапеции при одной боковой стороне дают в сумме 180°; у равнобедренной трапеции углы при основании равны.Решать
- Равнобедренная трапеция: высота и основанияВысоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают равные отрезки: (AD − BC)/2. Находим основания и высоту.Решать
- Средняя линия треугольникаСредняя линия треугольника параллельна основанию и вдвое короче его. Считаем отрезки и периметры.Решать
- Средняя линия трапецииСредняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Находим основания и отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию.Решать
- Теорема Фалеса и пропорциональные отрезкиПараллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Находим неизвестный отрезок.Решать
Площади
- Площадь прямоугольника и квадратаПлощадь прямоугольника равна произведению сторон, квадрата — квадрату стороны. Находим площадь, сторону, периметр и изменение площади.Решать
- Площадь параллелограммаПлощадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней; ту же площадь можно найти через другую сторону.Решать
- Площадь треугольникаПлощадь треугольника — половина произведения стороны на высоту к ней. Находим площадь, высоту, сторону.Решать
- Площадь трапецииПлощадь трапеции — полусумма оснований на высоту. Находим площадь, высоту и основание.Решать
- Площадь ромбаПлощадь ромба — половина произведения диагоналей или произведение стороны на высоту.Решать
Теорема Пифагора
- Теорема ПифагораВ прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Находим гипотенузу и катет.Решать
- Теорема Пифагора в задачахДиагональ прямоугольника, высота равнобедренного треугольника, сторона ромба, лестница у стены — всё сводится к прямоугольному треугольнику.Решать
- Обратная теорема Пифагора: вид треугольникаПо трём сторонам определяем, прямоугольный ли треугольник, а сравнением $c^2$ с $a^2+b^2$ — остроугольный он или тупоугольный.Решать
Подобие треугольников
- Подобные треугольники: коэффициент подобияСтороны подобных треугольников пропорциональны. Находим коэффициент подобия, неизвестные стороны и периметры.Решать
- Площади подобных фигурОтношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.Решать
- Прямая, параллельная стороне треугольникаПрямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный ему треугольник: находим отрезки, стороны, периметр и площадь.Решать
- Диагонали трапеции и подобные треугольникиДиагонали трапеции делят друг друга в отношении оснований: треугольники при основаниях подобны.Решать
- Свойство биссектрисы треугольникаБиссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.Решать
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузеВысота из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки; квадрат высоты равен произведению отрезков.Решать
- Признаки подобия треугольниковПроверяем подобие треугольников по двум углам или по пропорциональности трёх сторон.Решать
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Синус, косинус и тангенс острого углаПо сторонам прямоугольного треугольника находим синус, косинус и тангенс острого угла; по ним — стороны.Решать
- Значения тригонометрических функций для 30°, 45°, 60°Используем $\sin 30^\circ=\tfrac12$, $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$ и т. д., чтобы находить стороны прямоугольных треугольников.Решать
- Основное тригонометрическое тождествоЗная одну функцию острого угла, находим остальные: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$.Решать