Звук и его сжатие
Аудиокодеки вроде MP3 и AAC переходят от волны к частотам и отбрасывают то, чего ухо почти не слышит. Там используют родственное косинусное преобразование, но идея та же.
03 · Наглядно · математика
Любую линию можно собрать из кругов
Это и есть ряд Фурье: сложное движение раскладывается на простые вращения. Нарисуйте линию — круги её повторят. А потом посмотрите, зачем эта математика нужна: чистить шум и сжимать данные.
Здесь не картинка: круги считает программа по настоящему дискретному преобразованию Фурье.
Сцена 1 · Эпициклы
Нарисуй — круги повторят
Проведите по полю замкнутую линию мышью или пальцем. Программа разложит её на вращающиеся круги: кончик последнего чертит вашу фигуру. Двигайте ползунок «кругов» — и смотрите, как линия становится точнее.
Звездакругов 10 из 256
Проведите линию здесь — пальцем или мышью
Заготовки
Кругов10 из 256
Ошибка приближения0.27 %
среднеквадратичное отклонение от исходных 256 точек, в процентах от большей стороны фигуры
Вклад кругов · от крупного к мелкому
Наведите на столбик — круг подсветится на поле. Радиус = амплитуда, число оборотов = номер гармоники.
Честно: ДПФ точна для заданных 256 точек, а не для идеальной линии между ними. На острых углах между точками возникает «звон» (эффект Гиббса). Нарисованная линия замыкается прямым отрезком.
Сцена 2 · Сигнал
Сигнал из гармоник
Прямоугольную волну можно собрать из одних синусов: основного, потом втрое чаще и втрое тише, потом впятеро чаще… Добавляйте гармоники ползунком — сумма всё ближе к пунктиру. Справа столбики: сколько каждого синуса в смеси.
Бугор Гиббса: у скачка сумма «перелетает» полку на 9.2 % высоты скачка. С ростом числа гармоник бугор сужается и прижимается к скачку, но не исчезает.
Звук — тот же принцип, что в органе: по одному генератору-синусу на каждую гармонику, основной тон 196 Гц.
Сумма синусов · пунктир — идеальный сигнал
Спектр · нажмите на столбик, чтобы взять гармоники до него
Сцена 3 · Польза
Зачем это нужно
Раз сигнал — сумма синусов, с ним можно работать по частям: выкинуть шум, который расползся по всем частотам, или оставить только самые громкие гармоники и хранить меньше чисел.
сумма трёх синусов: 2, 5 и 9 колебаний за период
До · сигнал с шумом (пунктир — чистый)
После · восстановленный (пунктир — чистый)
Спектр зашумлённого сигнала · розовая черта — срез частот · нажмите, чтобы задать
Ошибка · СКО от чистого сигнала
до: 0.296 → после: 0.108
Ошибка стала в 2.7 раза меньше.
Почему это работает: у сигнала мало гармоник, и они высокие, а шум размазан ровным слоем по всем частотам. Честно: у резкого сигнала (меандр) часть полезных гармоник тоже уходит, поэтому выигрыш меньше. А чистого эталона в жизни нет — порог выбирают по виду спектра.
Где это живёт
Ряды Фурье вокруг нас
Изображения
JPEG режет картинку на блоки 8×8 и раскладывает каждый по косинусным волнам; мелкие, едва заметные волны округляют грубее.
Связь
Wi-Fi и сотовые сети (4G, 5G) передают данные на множестве близких частот сразу — метод называется OFDM, а считают его быстрым преобразованием Фурье.
Томография
МРТ измеряет сигнал в «частотном пространстве», а картинку срезов получают обратным преобразованием Фурье. При реконструкции в КТ тоже фильтруют в частотной области.
Анализ колебаний
По спектру вибрации видят частоту вращения станка и появление новых «нот», то есть износ детали. Так же читают сейсмограммы.
Распознавание речи
Большинство систем сначала превращают звук в спектрограмму — набор спектров по коротким кусочкам времени, — и уже её отдают нейросети.
Вопросы
Коротко о важном
Что такое ряд Фурье простыми словами?
Любой повторяющийся сигнал можно собрать из синусов: основного и тех, что колеблются вдвое, втрое, вчетверо чаще. У каждого свои громкость и сдвиг. Для линии на плоскости «синусы» превращаются во вращающиеся круги.
Круги точно повторяют мою линию?
Точно — в тех 256 точках, на которые линия разбита. Между точками получается интерполяция, и на острых углах заметен «звон» (эффект Гиббса). Если кругов меньше, чем точек, линия получается сглаженной, а ошибку считает программа: она показана числом.
Почему шум удаётся убрать?
У полезного сигнала обычно мало гармоник, и они громкие. Шум размазан ровным слоем по всем частотам. Срезаем тихие частоты — вместе с ними уходит почти весь шум. Но у резкого сигнала часть полезных гармоник тоже тихая, и она теряется.
Это настоящие реальные форматы?
Нет, здесь учебная модель: 256 отсчётов и простые фильтры. MP3, JPEG и связь устроены сложнее. Но основа — тот же переход к частотам.
Связанный кейс · 02
Ряд Фурье можно не только увидеть, но и услышать
В кейсе про орган звук трубы собирается из таблицы гармоник, а в тригонометрическом органе — из шестнадцати ползунков-синусов.
Послушать орган