Геометрия · 7 классТреугольники

Углы между биссектрисами и высотами треугольника

Угол между высотой и биссектрисой из одной вершины, угол между биссектрисами, угол между высотами — через углы треугольника.

Вариант № 49986

Углы между биссектрисами и высотами треугольника · Вариант № 49986 · Обычный · Имя: ____________________

1
Биссектрисы $BK$ и $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ , $\angle A=60^\circ$ . Найдите $\angle BOC$ .
Ответ: $120^\circ$
В треугольнике $BOC$ : $\angle BOC=180^\circ-\dfrac{\angle B}{2}-\dfrac{\angle C}{2}$ .
Так как $\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A$ , получаем $\angle BOC=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}$ .
$\angle BOC=90^\circ+30^\circ=120^\circ$ .
2
Биссектрисы $BK$ и $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ , $\angle A=40^\circ$ . Найдите $\angle BOC$ .
Ответ: $110^\circ$
В треугольнике $BOC$ : $\angle BOC=180^\circ-\dfrac{\angle B}{2}-\dfrac{\angle C}{2}$ .
Так как $\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A$ , получаем $\angle BOC=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}$ .
$\angle BOC=90^\circ+20^\circ=110^\circ$ .
3
Биссектрисы $QK$ и $RL$ треугольника $PQR$ пересекаются в точке $O$ , $\angle P=55^\circ$ . Найдите $\angle QOR$ .
Ответ: $117{,}5^\circ$
В треугольнике $QOR$ : $\angle QOR=180^\circ-\dfrac{\angle Q}{2}-\dfrac{\angle R}{2}$ .
Так как $\angle Q+\angle R=180^\circ-\angle P$ , получаем $\angle QOR=90^\circ+\dfrac{\angle P}{2}$ .
$\angle QOR=90^\circ+27{,}5^\circ=117{,}5^\circ$ .
4
Биссектрисы $YK$ и $ZL$ треугольника $XYZ$ пересекаются в точке $O$ , $\angle X=65^\circ$ . Найдите $\angle YOZ$ .
Ответ: $122{,}5^\circ$
В треугольнике $YOZ$ : $\angle YOZ=180^\circ-\dfrac{\angle Y}{2}-\dfrac{\angle Z}{2}$ .
Так как $\angle Y+\angle Z=180^\circ-\angle X$ , получаем $\angle YOZ=90^\circ+\dfrac{\angle X}{2}$ .
$\angle YOZ=90^\circ+32{,}5^\circ=122{,}5^\circ$ .
5
Биссектрисы $BK$ и $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ , $\angle BOC=112{,}5^\circ$ . Найдите угол $A$ треугольника.
Ответ: $45^\circ$
В треугольнике $BOC$ : $\angle BOC=180^\circ-\dfrac{\angle B}{2}-\dfrac{\angle C}{2}$ .
Так как $\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A$ , получаем $\angle BOC=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}$ .
$\angle A=2\cdot (112{,}5^\circ-90^\circ)=45^\circ$ .

Коротко о теме

Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины $A$ : $\dfrac{|\angle B-\angle C|}{2}$ .
Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются под углом $\angle BOC=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}$ .
Высоты $BK$ и $CL$ остроугольного треугольника пересекаются под углом $\angle BHC=180^\circ-\angle A$ .

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Треугольники»

Другие темы: 7 класс