Логика, комбинаторика и занимательная математика

Логика: высказывания

• 5–6 классыИстинные и ложные утвержденияПроверяем утверждения про числа, связываем их словами «и», «или», «не» и решаем задачи, где утверждения говорят о самих себе.Решать
• 5–6 классыКто виноват? Один говорит правдуКаждый подозреваемый что-то заявляет, а про число правдивых известно. Перебираем виновных и ищем того, при ком всё сходится.Решать

Логика: дедукция

• 5–6 классыПорядок в очередиРебята встали в ряд. По подсказкам «впереди», «сразу за», «не рядом» находим, кто на каком месте стоит.Решать
• 5–6 классыУгадай число по подсказкамЗагадано число, и про него сказано несколько фактов: чётность, делимость, сумма цифр. Каждая подсказка вычёркивает лишние числа, пока не останется одно.Решать

Логика: шифры

• 5–7 классыШифры: замена буквРасшифровываем слова: буквы заменены номерами, сдвинуты по алфавиту (шифр Цезаря) или записаны «зеркально».Решать

Комбинаторика: основы

• 5–6 классыПравило произведения: сколько вариантов?Если выбор делается в несколько шагов, число способов перемножается: наряды, обеды, пароли, маршруты.Решать
• 5–6 классыПравило суммы: «или» — значит складываемКогда выбирают одно из нескольких несовместных вариантов — число способов складывается. Учимся различать сумму и произведение.Решать
• 5–7 классыЧисла из заданных цифрСколько чисел можно составить из цифр: с повторами и без, чётных, кратных пяти, без нуля в начале.Решать
• 5–6 классыДерево вариантовРисуем дерево возможных выборов и считаем концы веток. Так перебор становится наглядным и без пропусков.Решать

Логика: рыцари и лжецы

• 6–7 классыРыцари и лжецыРыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. По их словам выясняем, кто есть кто, проверяя все возможные случаи.Решать

Логика: дедукция

• 6–7 классыУ кого что: таблицы соответствийУ нескольких друзей разные питомцы, занятия и цвета. По подсказкам заполняем таблицу и находим единственный возможный вариант.Решать
• 6–8 классыУпорядочивание по сравнениямИзвестно, кто выше, кто тяжелее. Выясняем, кто самый высокий, кто стоит на месте номер три и сколько порядков вообще возможно.Решать

Логика: высказывания

• 7–8 классыОтрицание утвержденийКак правильно сказать «это неверно»: отрицание слов «все» и «некоторые», условных утверждений, поиск контрпримера.Решать

Логика: дедукция

• 7–9 классыБыки и коровыУгадываем секретный код по попыткам: «быки» — цифры на своих местах, «коровы» — цифры не на своём месте. Находим единственный подходящий код.Решать

Комбинаторика: основы

• 7–9 классыПерестановкиСколькими способами расставить n разных предметов в ряд: факториал, а также случаи, когда двое стоят рядом или не рядом.Решать
• 7–8 классыРукопожатия, матчи и диагоналиСколько пар можно составить из n объектов: рукопожатия, матчи турнира «каждый с каждым», диагонали многоугольника.Решать
• 7–8 классыСколько прямоугольников и квадратов на сетке?Считаем все прямоугольники и квадраты, которые можно обвести по линиям клетчатой сетки, — перебором и формулой.Решать
• 7–9 классыРаскраска флаговСколько флагов можно составить из полос заданных цветов, если цвета разные или соседние полосы не должны совпадать.Решать
• 7–9 классыЛесенка и числа ФибоначчиСколькими способами подняться по лестнице шагами в 1 и 2 ступени, вымостить дорожку плитками, составить цепочку без соседних единиц — всюду возникают числа Фибоначчи.Решать

Логика: рыцари и лжецы

• 8–9 классыРыцари и лжецы: большая компанияДесятки жителей говорят «среди нас ровно столько-то лжецов», сидят за круглым столом или судят об остальных. Находим число рыцарей.Решать

Комбинаторика: основы

• 8–9 классыЧисло подмножествКаждый элемент либо входит в набор, либо нет — отсюда $2^n$ наборов. Считаем наборы начинок, команды и подмножества с условиями.Решать
• 8–9 классыРазмен монет: сколькими способами?Сколькими способами можно набрать сумму монетами разных номиналов, если порядок монет не важен. Считаем перебором по количеству монет.Решать

Комбинаторика: формулы

• 8–10 классыЧисло путей по сетке улицСколько кратчайших маршрутов ведёт по клетчатой сетке улиц из A в B: перекрытые перекрёстки, обязательная точка, формула сочетаний.Решать
• 8–10 классыТреугольник ПаскаляКаждое число — сумма двух над ним. Восстанавливаем пропущенные числа, считаем суммы строк и находим биномиальные коэффициенты.Решать
• 8–10 классыФормула включений и исключенийСколько человек увлекаются хотя бы одним из занятий, если некоторые ходят на оба: два и три множества, круги Эйлера.Решать

Логика: формулы

• 9–10 классыТаблицы истинностиВычисляем значение логической формулы на наборах значений, заполняем столбец таблицы истинности и считаем, сколько строк дают единицу.Решать

Комбинаторика: формулы

• 9–10 классыПерестановки с повторениями (анаграммы)Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы, если часть букв одинаковая: $n!$ делим на факториалы повторов.Решать
• 9–10 классыРазмещения: выбор с учётом порядкаСколькими способами выбрать k из n с учётом порядка: призёры на пьедестале, должности в классе, числа с разными цифрами.Решать
• 9–11 классыСочетания: выбор без учёта порядкаСколькими способами выбрать k предметов из n, если порядок не важен: команды, делегации, «хотя бы один», два особых человека.Решать
• 9–10 классыРазмещения с повторениями: коды и паролиСколько кодов, паролей и номеров можно составить, если символы повторяются: $n^k$, палиндромы, «хотя бы один», ограничение на первую цифру.Решать

Логика: формулы

• 10–11 классыРавносильные формулы и законы логикиЗаконы де Моргана, замена импликации, двойное отрицание: выбираем равносильную формулу, отличаем тавтологию от противоречия.Решать

Комбинаторика: формулы

• 10–11 классыКруговые перестановкиСколькими способами рассадить людей за круглым столом или нанизать бусины на нить, если повороты считаются одинаковыми.Решать
• 10–11 классыШарики и перегородкиСколькими способами раздать n одинаковых конфет k детям или разложить по ящикам: расставляем шарики и перегородки в ряд.Решать
• 10–11 классыБином НьютонаРаскрываем степень двучлена $(a+b)^n$: находим коэффициент при заданной степени, сумму коэффициентов и номер среднего члена.Решать

Комбинаторика: формулы

• Числа КаталанаСкобочные последовательности, пути под диагональю и триангуляции многоугольника — три задачи с одним и тем же ответом: числом Каталана.Решать