Логика и комбинаторика · 8–9 классыКомбинаторика: основы

Число подмножеств

Каждый элемент либо входит в набор, либо нет — отсюда $2^n$ наборов. Считаем наборы начинок, команды и подмножества с условиями.

Вариант № 73115

Число подмножеств · Вариант № 73115 · Обычный · Имя: ____________________

1
В пиццерии можно добавить в пиццу любые из 7 добавок: кукуруза, томаты, грибы, перец, базилик, сыр и лук. Сколько существует разных пицц (по набору добавок)?
Ответ: 128
Каждую из $7$ добавок можно взять или не взять — два варианта.
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{7}=128$ (в том числе вариант «без добавок»).
2
В пиццерии можно добавить в пиццу любые из 7 добавок: грибы, сыр, томаты, кукуруза, бекон, ананас и ветчина. Пустую пиццу (совсем без добавок) не заказывают. Сколько существует разных пицц (по набору добавок)?
Ответ: 127
Всего наборов $2^{7}=128$ , вычитаем пустой.
$128-1=127$ .
3
В пиццерии можно добавить в пиццу любые из 8 добавок: перец, креветки, сыр, базилик, томаты, оливки, грибы и кукуруза. В каждую пиццу обязательно кладут перец. Сколько существует разных пицц (по набору добавок)?
Ответ: 128
Перец уже есть, остальные $7$ добавок берём или нет.
$2^{7}=128$ .
4
В пиццерии можно добавить в пиццу любые из 8 добавок: ветчина, перец, ананас, лук, оливки, базилик, томаты и кукуруза. Сколько существует разных пицц (по набору добавок)?
Ответ: 256
Каждую из $8$ добавок можно взять или не взять — два варианта.
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{8}=256$ (в том числе вариант «без добавок»).
5
В пиццерии можно добавить в пиццу любые из 4 добавок: базилик, оливки, ветчина и перец. Пустую пиццу (совсем без добавок) не заказывают. Сколько существует разных пицц (по набору добавок)?
Ответ: 15
Всего наборов $2^{4}=16$ , вычитаем пустой.
$16-1=15$ .

Коротко о теме

У множества из $n$ элементов ровно $2^n$ подмножеств (с пустым и всем множеством): каждый элемент либо берём, либо нет.
Непустых подмножеств $2^n-1$ .
Подмножеств, содержащих выбранный элемент, $2^{n-1}$ — остальные $n-1$ элементов свободны.
Подмножеств чётного размера столько же, сколько нечётного, — по $2^{n-1}$ .

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: основы»

Размен монет: сколькими способами?

Другие темы: 8 класс