Логика и комбинаторика · 8–9 классыЛогика: рыцари и лжецы

Рыцари и лжецы: большая компания

Десятки жителей говорят «среди нас ровно столько-то лжецов», сидят за круглым столом или судят об остальных. Находим число рыцарей.

Вариант № 93421

Рыцари и лжецы: большая компания · Вариант № 93421 · Обычный · Имя: ____________________

1
За круглым столом сидят 7 жителей острова рыцарей и лжецов. Каждый сказал: «Мои соседи одного типа: оба рыцари или оба лжецы». Сколько за столом рыцарей?
Ответ: 7
Тип каждого связан с типами соседей: рыцарь говорит правду о них, лжец — неправду.
Перебираем расстановки по кругу (всего $2^{7}=128$ ) и оставляем те, где слова каждого согласуются с его типом.
У всех подходящих расстановок число рыцарей одинаково — $7$ .
2
За круглым столом сидят 5 жителей острова рыцарей и лжецов. Каждый сказал: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько за столом рыцарей?
Ответ: 2
Тип каждого связан с типами соседей: рыцарь говорит правду о них, лжец — неправду.
Перебираем расстановки по кругу (всего $2^{5}=32$ ) и оставляем те, где слова каждого согласуются с его типом.
У всех подходящих расстановок число рыцарей одинаково — $2$ .
3
На острове 8 жителей, каждый — рыцарь или лжец. Их по очереди спросили: «Сколько среди вас лжецов?» Они ответили: «5», «8», «2», «6», «2», «6», «2», «1». Сколько среди них рыцарей?
Ответ: 2
Пусть лжецов на самом деле $L$ . Тогда правду сказали только те, кто назвал число $L$ , — это рыцари; остальные солгали.
Значит, число назвавших $L$ должно быть ровно $8-L$ (столько рыцарей).
Перебираем $L$ от $0$ до $8$ : условие выполняется только при $L=6$ — число $6$ назвали $2$ человека.
Рыцарей: $8-6=2$ .
4
За круглым столом сидят 8 жителей острова рыцарей и лжецов. Каждый сказал: «Мой сосед справа — лжец». Сколько за столом рыцарей?
Ответ: 4
Тип каждого связан с типами соседей: рыцарь говорит правду о них, лжец — неправду.
Перебираем расстановки по кругу (всего $2^{8}=256$ ) и оставляем те, где слова каждого согласуются с его типом.
У всех подходящих расстановок число рыцарей одинаково — $4$ .
5
На острове 11 жителей, каждый — рыцарь или лжец. Их по очереди спросили: «Сколько среди вас лжецов?» Они ответили: «3», «3», «11», «3», «3», «3», «3», «3», «3», «6», «8». Сколько среди них рыцарей?
Ответ: 8
Пусть лжецов на самом деле $L$ . Тогда правду сказали только те, кто назвал число $L$ , — это рыцари; остальные солгали.
Значит, число назвавших $L$ должно быть ровно $11-L$ (столько рыцарей).
Перебираем $L$ от $0$ до $11$ : условие выполняется только при $L=3$ — число $3$ назвали $8$ человек.
Рыцарей: $11-3=8$ .

Коротко о теме

Если все говорят «среди нас ровно $k$ лжецов», то верным может быть только одно число: все, назвавшие его, — рыцари, остальные — лжецы.
За круглым столом соседи связаны цепочкой: тип одного определяет типы других. Достаточно проверить два варианта для первого и пройти по кругу.
Рыцарь про остальных говорит о числе лжецов без себя, лжец — тоже, но его число неверно.
Когда вариантов много, считают: сколько людей назвали число $L$ и сколько должно быть рыцарей при $L$ лжецах.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Другие темы: 8 класс