Логика и комбинаторика · 8–10 классыКомбинаторика: формулы

Формула включений и исключений

Сколько человек увлекаются хотя бы одним из занятий, если некоторые ходят на оба: два и три множества, круги Эйлера.

Вариант № 64626

Формула включений и исключений · Вариант № 64626 · Обычный · Имя: ____________________

1
В классе 30 учеников. 13 человек любят шахматы, 16 — чтение, а 2 любят и то и другое. Сколько учеников не любят ни шахматы, ни чтение?
Ответ: 3
Хотя бы одно любят: $13+16-2=27$ (тех, кто любит оба, вычитаем один раз).
Не любят ни одного: $30-27=3$ .
2
В классе 31 учеников. 16 человек любят танцы, 14 — чтение, а 4 человека не любят ни то ни другое. Сколько учеников любят и танцы, и чтение?
Ответ: 3
Любят хотя бы одно: $31-4=27$ .
Если сложить $16$ и $14$ , то любящие оба посчитаны дважды: $16+14=30$ , а людей только $27$ .
Пересечение: $30-27=3$ .
3
В классе 15 человек любят футбол, 19 — плавание, а 8 любят и то и другое. Сколько учеников любят футбол, но не любят плавание?
Ответ: 7
Среди $15$ любителей футбола есть $8$ человек, которые любят и плавание.
Только футбол: $15-8=7$ .
4
В классе 24 учеников. 7 человек любят рисование, 15 — шахматы, а 3 любят и то и другое. Сколько учеников не любят ни рисование, ни шахматы?
Ответ: 5
Хотя бы одно любят: $7+15-3=19$ (тех, кто любит оба, вычитаем один раз).
Не любят ни одного: $24-19=5$ .
5
В группе 13 человек любят плавание, 8 — футбол, а 5 любят и то и другое. Сколько человек любят хотя бы одно из этих двух занятий?
Ответ: 16
Если сложить $13$ и $8$ , то $5$ человек посчитаны дважды.
$13+8-5=16$ .

Коротко о теме

Для двух множеств: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ . Тех, кто в обоих, нельзя считать дважды.
Для трёх: $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ .
Не вошедшие ни в одно множество: $N-|A\cup B|$ , где $N$ — всего элементов.
Нарисуй круги Эйлера и вписывай числа, начиная с самой «внутренней» области — пересечения.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 8 класс