Логика и комбинаторика · 8–10 классыКомбинаторика: формулы

Треугольник Паскаля

Каждое число — сумма двух над ним. Восстанавливаем пропущенные числа, считаем суммы строк и находим биномиальные коэффициенты.

Вариант № 80808

Треугольник Паскаля · Вариант № 80808 · Обычный · Имя: ____________________

1
Чему равна сумма всех чисел в строке треугольника Паскаля, которая начинается с 1 и 7? (Это строка с номером 7, если верхнюю единицу считать строкой номер 0.)
Ответ: 128
Сумма чисел в строке с номером $7$ равна $2^{7}$ : при переходе к следующей строке сумма удваивается.
$2^{7}=128$ .
2
Шарик падает по доске с гвоздями: на каждом из 7 рядов он отскакивает либо влево, либо вправо. Сколькими различными путями он попадёт в лунку, для которой нужно ровно 1 отскок вправо?
Ответ: 7
Нужно выбрать, на каких из $7$ рядов шарик отскочил вправо: $C_{7}^{1}$ .
Это число в строке $7$ на месте $1$ треугольника Паскаля: $7$ .
3
Шарик падает по доске с гвоздями: на каждом из 5 рядов он отскакивает либо влево, либо вправо. Сколькими различными путями он попадёт в лунку, для которой нужно ровно 3 отскока вправо?
Ответ: 10
Нужно выбрать, на каких из $5$ рядов шарик отскочил вправо: $C_{5}^{3}$ .
Это число в строке $5$ на месте $3$ треугольника Паскаля: $10$ .
4
Чему равно число в строке с номером 9 треугольника Паскаля (верхнюю единицу считать строкой номер 0) на месте 4 (первую единицу в строке считать местом 0)?
Ответ: 126
Это биномиальный коэффициент $C_{9}^{4}=\dfrac{9!}{4!\,5!}$ .
$C_{9}^{4}=126$ .
Можно проверить, продолжив треугольник строка за строкой.
5
В треугольнике Паскаля одно число скрыто под знаком «?». Какое это число?
Ответ: 4
Каждое число равно сумме двух чисел над ним.
Первое скрытое число: $1+3=4$ .
Проверка по формуле: $C_{4}^{1}=4$ .

Коротко о теме

В треугольнике Паскаля по краям стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел над ним.
Число в строке $n$ на месте $k$ (нумерация с нуля) равно $C_n^k$ .
Сумма чисел в строке $n$ равна $2^n$ .
Строка симметрична: $C_n^k=C_n^{n-k}$ . Числа второй диагонали $1,2,3,4,\dots$ — это $C_n^1=n$ .

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 8 класс