Логика и комбинаторика · 10–11 классыКомбинаторика: формулы

Шарики и перегородки

Сколькими способами раздать n одинаковых конфет k детям или разложить по ящикам: расставляем шарики и перегородки в ряд.

Вариант № 73356

Шарики и перегородки · Вариант № 73356 · Обычный · Имя: ____________________

1
10 одинаковых конфет раздают 3 детям так, чтобы каждому досталась хотя бы одна конфета. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 36
Выдадим каждому ребёнку по одной конфете. Останется $7$ конфет, которые можно раздать свободно.
$C_{9}^{2}=C_{9}^{2}=36$ .
Другой взгляд: перегородки ставят в $9$ промежутков между $10$ конфетами, не больше одной в промежуток.
2
7 одинаковых конфет раздают 4 детям так, чтобы каждому досталась хотя бы одна конфета. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 20
Выдадим каждому ребёнку по одной конфете. Останется $3$ конфет, которые можно раздать свободно.
$C_{6}^{3}=C_{6}^{3}=20$ .
Другой взгляд: перегородки ставят в $6$ промежутков между $7$ конфетами, не больше одной в промежуток.
3
6 одинаковых конфет раздают 3 детям: Мише, Соне и Маше. Некоторым могут не достаться конфеты. Сколькими способами можно раздать конфеты?
Ответ: 28
Расставим конфеты (шарики) в ряд и поставим $2$ перегородки: всё, что до первой перегородки, достанется первому ребёнку и так далее.
Всего в ряду $8$ мест, выбираем места для перегородок: $C_{8}^{2}=28$ .
4
9 одинаковых конфет раздают 3 детям так, чтобы каждому досталась хотя бы одна конфета. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 28
Выдадим каждому ребёнку по одной конфете. Останется $6$ конфет, которые можно раздать свободно.
$C_{8}^{2}=C_{8}^{2}=28$ .
Другой взгляд: перегородки ставят в $8$ промежутков между $9$ конфетами, не больше одной в промежуток.
5
9 одинаковых конфет раздают 3 детям: Никите, Алисе и Егору. Некоторым могут не достаться конфеты. Сколькими способами можно раздать конфеты?
Ответ: 55
Расставим конфеты (шарики) в ряд и поставим $2$ перегородки: всё, что до первой перегородки, достанется первому ребёнку и так далее.
Всего в ряду $11$ мест, выбираем места для перегородок: $C_{11}^{2}=55$ .

Коротко о теме

Раздать $n$ одинаковых предметов $k$ получателям значит расставить $n$ шариков и $k-1$ перегородок в ряд. Выбираем места перегородок: $C_{n+k-1}^{k-1}$ .
Если каждому нужно дать хотя бы по одному, сначала выдай по одному, а остальные $n-k$ раздай свободно: $C_{n-1}^{k-1}$ .
Число неотрицательных целых решений $x_1+\dots+x_k=n$ — то же самое, что способов раздачи.
Нижние границы $x_i\ge a_i$ снимаются заменой: вычти $a_i$ из каждой переменной и уменьши $n$ на $\sum a_i$ .

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 10 класс

Равносильные формулы и законы логики