Логика и комбинаторика · 10–11 классыКомбинаторика: формулы

Бином Ньютона

Раскрываем степень двучлена $(a+b)^n$: находим коэффициент при заданной степени, сумму коэффициентов и номер среднего члена.

Вариант № 11999

Бином Ньютона · Вариант № 11999 · Обычный · Имя: ____________________

1
Чему равен коэффициент среднего члена (при $x^{2}$ ) в разложении $(3x+2)^{4}$ ?
Ответ: 216
В разложении $5$ член, средний — при $x^{2}$ .
$C_{4}^{2}\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=6\cdot 9\cdot 4=216$ .
2
Многочлен $(x-2)^{4}$ раскрыли по формуле бинома. Чему равна сумма всех его коэффициентов?
Ответ: 1
Сумма коэффициентов равна значению многочлена при $x=1$ .
$(1\cdot 1-2)^{4}=-1^{4}=1$ .
3
Найди коэффициент при $x^{1}$ в разложении $(-2x-1)^{7}$ .
Ответ: -14
Общий член разложения: $C_{7}^{k}\,(-2x)^{k}\,(-1)^{7-k}$ . Нужна степень $x^{1}$ , значит $k=1$ .
$C_{7}^{1}\cdot (-2)^{1}\cdot (-1)^{6}=7\cdot (-2)\cdot 1=-14$ .
4
Найди коэффициент при $x^{2}$ в разложении $(3x-1)^{6}$ .
Ответ: 135
Общий член разложения: $C_{6}^{k}\,(3x)^{k}\,(-1)^{6-k}$ . Нужна степень $x^{2}$ , значит $k=2$ .
$C_{6}^{2}\cdot 3^{2}\cdot (-1)^{4}=15\cdot 9\cdot 1=135$ .
5
Найди коэффициент при $x^{1}$ в разложении $(-2x-2)^{4}$ .
Ответ: 64
Общий член разложения: $C_{4}^{k}\,(-2x)^{k}\,(-2)^{4-k}$ . Нужна степень $x^{1}$ , значит $k=1$ .
$C_{4}^{1}\cdot (-2)^{1}\cdot (-2)^{3}=4\cdot (-2)\cdot (-8)=64$ .

Коротко о теме

Формула бинома: $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$ . Коэффициенты $C_n^k$ берутся из строки $n$ треугольника Паскаля.
Общий член: $T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}\,b^k$ . Слагаемых в разложении $n+1$ .
Сумма всех коэффициентов многочлена получается подстановкой $x=1$ : для $(ax+b)^n$ это $(a+b)^n$ .
Знаки: при $b<0$ знаки членов чередуются.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 10 класс

Равносильные формулы и законы логики