Логика и комбинаторика · 9–11 классыКомбинаторика: формулы

Сочетания: выбор без учёта порядка

Сколькими способами выбрать k предметов из n, если порядок не важен: команды, делегации, «хотя бы один», два особых человека.

Вариант № 25031

Сочетания: выбор без учёта порядка · Вариант № 25031 · Обычный · Имя: ____________________

1
В классе 7 мальчиков и 6 девочек. Для участия в конкурсе нужно выбрать команду из 2 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 420
Мальчиков выбираем $C_{7}^{2}=21$ способами, девочек — $C_{6}^{3}=20$ .
Выборы независимы, значит перемножаем: $21\cdot 20=420$ .
2
В классе 7 мальчиков и 5 девочек. Для участия в конкурсе нужно выбрать команду из 2 мальчиков и 1 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 105
Мальчиков выбираем $C_{7}^{2}=21$ способами, девочек — $C_{5}^{1}=5$ .
Выборы независимы, значит перемножаем: $21\cdot 5=105$ .
3
В классе 7 мальчиков и 3 девочек. Для участия в конкурсе нужно выбрать команду из 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 105
Мальчиков выбираем $C_{7}^{3}=35$ способами, девочек — $C_{3}^{2}=3$ .
Выборы независимы, значит перемножаем: $35\cdot 3=105$ .
4
В кружке 7 мальчиков и 5 девочек. Для участия в олимпиаде выбирают 3 человек так, чтобы среди них была хотя бы одна девочка. Сколькими способами?
Ответ: 185
Всего способов выбрать $3$ из $12$ : $C_{12}^{3}=220$ .
«Нет ни одной девочки» — выбираем только из мальчиков: $C_{7}^{3}=35$ .
$220-35=185$ .
5
В классе 7 мальчиков и 4 девочек. Для участия в конкурсе нужно выбрать команду из 2 мальчиков и 1 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 84
Мальчиков выбираем $C_{7}^{2}=21$ способами, девочек — $C_{4}^{1}=4$ .
Выборы независимы, значит перемножаем: $21\cdot 4=84$ .

Коротко о теме

Сочетания из $n$ по $k$ : $C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ — выбираем $k$ предметов, порядок не важен.
$C_n^k=C_n^{n-k}$ : выбрать тех, кто идёт, — всё равно что выбрать тех, кто остаётся.
Группы из разных множеств: $C_m^a\cdot C_f^b$ . «Хотя бы один» удобно считать через дополнение: всего минус «ни одного».
Особые люди: выбирают случаи — оба в команде, ровно один, ни одного.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 9 класс

Таблицы истинности