Логика и комбинаторика · 9–10 классыКомбинаторика: формулы

Размещения с повторениями: коды и пароли

Сколько кодов, паролей и номеров можно составить, если символы повторяются: $n^k$, палиндромы, «хотя бы один», ограничение на первую цифру.

Вариант № 44425

Размещения с повторениями: коды и пароли · Вариант № 44425 · Обычный · Имя: ____________________

1
Слово из 6 символов составлено из цифр от 0 до 2 (повторы разрешены). Сколько таких слов содержат хотя бы один нуль?
Ответ: 665
Всего слов $3^{6}=729$ .
Слов без нуля: на каждом месте $2$ цифр — $2^{6}=64$ .
$729-64=665$ .
2
Сколько существует 3-значных чисел (цифры могут повторяться)?
Ответ: 900
Первая цифра — любая, кроме нуля: $9$ способов, остальные $2$ цифр — любые: по $10$ .
$9\cdot 10^{2}=900$ .
3
Сколько существует последовательностей из 9 знаков, где каждый знак — «точка» или «тире» (азбука Морзе без пауз)?
Ответ: 512
Каждый знак — два варианта, всего $9$ знаков.
$2^{9}=512$ .
4
Сколько существует последовательностей из 4 знаков, где каждый знак — «точка» или «тире» (азбука Морзе без пауз)?
Ответ: 16
Каждый знак — два варианта, всего $4$ знаков.
$2^{4}=16$ .
5
Слово из 4 символов составлено из цифр от 0 до 3 (повторы разрешены). Сколько таких слов содержат хотя бы один нуль?
Ответ: 175
Всего слов $4^{4}=256$ .
Слов без нуля: на каждом месте $3$ цифр — $3^{4}=81$ .
$256-81=175$ .

Коротко о теме

Если на каждое из $k$ мест можно поставить любой из $n$ символов (в том числе повторяя), получается $n^k$ последовательностей.
«Не начинается с нуля»: на первое место $9$ цифр, на остальные по $10$ : $9\cdot 10^{k-1}$ .
«Хотя бы один такой символ» считают через противоположное: всего минус «ни одного».
Палиндром читается одинаково в обе стороны: достаточно выбрать первую половину, вторая определяется.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 9 класс

Таблицы истинности