Логика и комбинаторика · 9–10 классыКомбинаторика: формулы

Перестановки с повторениями (анаграммы)

Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы, если часть букв одинаковая: $n!$ делим на факториалы повторов.

Вариант № 60143

Перестановки с повторениями (анаграммы) · Вариант № 60143 · Обычный · Имя: ____________________

1
Сколько различных 5-значных чисел можно записать, используя все цифры 1, 1, 2, 2, 3 (каждую — ровно столько раз, сколько она встречается в списке)?
Ответ: 30
Всего цифр $5$ , но одинаковые цифры неотличимы.
$\dfrac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=30$ .
2
Сколько различных «слов» (наборов букв, даже бессмысленных) можно получить, переставляя буквы слова «ЛОПАТА»?
Ответ: 360
В слове $6$ букв; буква «А» повторяется $2$ раза.
$\dfrac{6!}{2!}=360$ .
3
Из 5 флажков нужно составить гирлянду в ряд: жёлтых — 2, белых — 2, синих — 1. Флажки одного цвета неотличимы. Сколько различных гирлянд можно получить?
Ответ: 30
Если бы все флажки были разными, расстановок было бы $5!=120$ . Одинаковые флажки неотличимы, делим на факториалы повторов.
$\dfrac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=30$ .
4
Сколько различных «слов» (наборов букв, даже бессмысленных) можно получить, переставляя буквы слова «ПАРАД»?
Ответ: 60
В слове $5$ букв; буква «А» повторяется $2$ раза.
$\dfrac{5!}{2!}=60$ .
5
Из 6 флажков нужно составить гирлянду в ряд: красных — 2, белых — 2, жёлтых — 2. Флажки одного цвета неотличимы. Сколько различных гирлянд можно получить?
Ответ: 90
Если бы все флажки были разными, расстановок было бы $6!=720$ . Одинаковые флажки неотличимы, делим на факториалы повторов.
$\dfrac{6!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=90$ .

Коротко о теме

Если в слове $n$ букв и повторяются буквы $k_1,k_2,\dots$ раз, то различных перестановок $\dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}$ .
Одинаковые буквы нельзя отличить друг от друга, поэтому расстановки, различающиеся лишь обменом одинаковых, считаются один раз.
Чтобы буквы стояли рядом, склей их в один символ и пересчитай оставшиеся.
Если первая буква задана, сначала убери её из набора, а остальные расставь по формуле.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: формулы»

Другие темы: 9 класс

Таблицы истинности