Логика и комбинаторика · 7–8 классыКомбинаторика: основы

Рукопожатия, матчи и диагонали

Сколько пар можно составить из n объектов: рукопожатия, матчи турнира «каждый с каждым», диагонали многоугольника.

Вариант № 33082

Рукопожатия, матчи и диагонали · Вариант № 33082 · Обычный · Имя: ____________________

1
В турнире по настольному теннису играют 9 человек. Каждый с каждым встречается один раз. Сколько матчей будет сыграно?
Ответ: 36
Каждый из $9$ человек встречается с $8$ другими.
Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим пополам: $\frac{9\cdot 8}{2}=36$ .
2
В турнире по настольному теннису играют 5 человек. Каждый с каждым встречается один раз. Сколько матчей будет сыграно?
Ответ: 10
Каждый из $5$ человек встречается с $4$ другими.
Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим пополам: $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ .
3
В турнире по настольному теннису играют 12 человек. Каждый с каждым встречается один раз. Сколько матчей будет сыграно?
Ответ: 66
Каждый из $12$ человек встречается с $11$ другими.
Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим пополам: $\frac{12\cdot 11}{2}=66$ .
4
Сколько диагоналей у выпуклого 7-угольника?
Ответ: 14
Из каждой вершины выходит $4$ диагонали (не к самой себе и не к двум соседям).
Всего вершин $7$ , каждая диагональ посчитана дважды: $\frac{7\cdot 4}{2}=14$ .
5
12 шахматистов сыграли турнир: каждый с каждым по одной партии. Сколько партий сыграно?
Ответ: 66
Каждый из $12$ человек встречается с $11$ другими.
Каждая пара посчитана дважды, поэтому делим пополам: $\frac{12\cdot 11}{2}=66$ .

Коротко о теме

Из $n$ объектов можно составить $\frac{n(n-1)}{2}$ пар: каждый объект образует пару с $n-1$ другими, но пара считается дважды.
В круговом турнире на $n$ команд матчей столько же, сколько рукопожатий: $\frac{n(n-1)}{2}$ .
Диагонали выпуклого $n$ -угольника: из каждой вершины их $n-3$ , всего $\frac{n(n-3)}{2}$ .
Если пары упорядочены (кто кому звонит), их вдвое больше: $n(n-1)$ .

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Комбинаторика: основы»

Другие темы: 7 класс