Олимпиадные задачи по классам

Чётность и инварианты

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: чётность — «может ли быть?»Дружба, монеты, переворачивание предметов, расстановка знаков: сначала смотрим, какой чётности должно быть число, и только потом ищем пример.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: раскраска доски и покрытияДоминошки на шахматной доске с вырезанными клетками, полоски 1×3 и уголки: раскраска показывает, когда покрыть нельзя.Решать

Разрезания и подсчёт

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: разрезания и сколько фигур на клетчатой бумагеРазломы шоколадки, наименьшее число квадратов, способы выложить дорожку и подсчёт прямоугольников: считаем не перебором, а идеей.Решать

Логика и перебор

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: рыцари и лжецы — сколько рыцарей?Рассадки за круглым столом, ряд с высказываниями о числах и о тех, кто стоит слева: определяем, кто есть кто, и считаем рыцарей.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: круги Эйлера — сколько их на самом деле?Два и три пересекающихся множества: кто в обоих кругах, сколько ни в одном и сколько могло быть при самом неудачном (или удачном) раскладе.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: переливания — как отмерить водуДва и три сосуда без делений: кратчайшая цепочка переливаний или доказательство, что нужное количество отмерить нельзя.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: взвешивания — фальшивая монета и гириСколько взвешиваний нужно, чтобы найти фальшивую монету, и какой набор гирь позволяет взвесить любой груз: считаем исходы и степени тройки.Решать

Принцип Дирихле

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: принцип Дирихле — «обязательно найдутся»Носки в темноте, кролики в клетках, числа, которые нельзя выбрать «так, чтобы не было пары»: считаем худший случай и прибавляем единицу.Решать

Игры и стратегии

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: игры с камнями и доминошками — кто выигрывает?Кучи камней, где можно брать несколько, и доминошки на доске: ищем проигрышные позиции и симметричную стратегию.Решать

Числа и цифры

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: ребусы — расшифруй цифрыСтолбики сложения и умножения, где цифры спрятаны за буквами: ищем перенос, единицы и единственную расшифровку.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: цифры и числа — наибольшее, наименьшее, сколькоЧисла с заданной суммой цифр, различные цифры, место цифры в длинной записи и «вычеркни цифры» — считаем по разрядам, а не перебором.Решать

Комбинаторика

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: считаем способы — правило произведенияЧисла из цифр, флаги, рассадка, турнирные матчи, лесенка из прыжков и выбор команды: учимся не перебирать, а умножать и вычитать.Решать

Текстовые задачи

• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: текстовые задачи с неожиданным ходом«С конца», «не хватает и остаётся», кирпич и полкирпича, возрасты и средние: сюжет решается одним верным взглядом, а не длинным уравнением.Решать
• 5–6 классыОлимпиада, 5–6 класс: движение с хитростью — муха, эскалатор, часыЗадачи на движение, где не нужно считать каждый перелёт: муха между поездами, эскалатор, стрелки часов, круговая дорожка и средняя скорость.Решать

Числа и цифры

• Олимпиада, 6 класс: остатки, делимость и «хвосты» чиселПоследняя цифра степени, нули на конце факториала, признаки делимости со звёздочками, число из повторяющихся блоков и количество делителей.Решать