Олимпиады · 5–6 классыЧётность и инварианты

Олимпиада, 5–6 класс: чётность — «может ли быть?»

Дружба, монеты, переворачивание предметов, расстановка знаков: сначала смотрим, какой чётности должно быть число, и только потом ищем пример.

Вариант № 48733

Олимпиада, 5–6 класс: чётность — «может ли быть?» · Вариант № 48733 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
На столе 5 монет, все лежат орлом вверх. За один ход разрешено перевернуть ровно 4 любых монет. За какое наименьшее число ходов все монеты можно положить решкой вверх? Если невозможно, ответьте 0.
Ответ: 0
Каждый предмет должен быть перевёрнут нечётное число раз (один раз — мало, три — тоже годится), значит, суммарное число переворотов $5$ предметов имеет ту же чётность, что и $5$ .
За $m$ ходов делается ровно $4m$ переворотов, и один предмет за $m$ ходов можно перевернуть не более $m$ раз.
Нужно: $4m$ и $5$ одной чётности. Если $4$ чётно, а $5$ нечётно, чётности $4m$ и $5$ различаются при любом $m$ — значит, не получится никогда (или перебор $m$ даёт противоречие). Ответ: $0$ .
2
В компании 11 человек, дружба взаимная. У 4 человек — ровно 2 друга, у 7 человек — ровно 5 друзей. Может ли так быть?
Ответ: Нет, не может
Сложим числа друзей у всех: получается 43. Каждая дружба посчитана дважды — по разу у каждого из двух друзей, значит, сумма обязана быть чётной.
Но 43 нечётно, поэтому такого быть не может. Вывод: нельзя.
3
В кассе есть монеты только по 1, 3 и 5 рублей (каждого вида сколько угодно). Можно ли набрать ровно 22 рублей ровно 7 монетами?
Ответ: Нельзя
Все достоинства нечётные, а сумма $7$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $7$ : она нечётная. Нужная сумма $22$ — чётная.
Кроме того, $7$ монет дают не меньше $7\cdot 1=7$ и не больше $7\cdot 5=35$ . Нужная сумма в границы попадает.
Одно из условий нарушено — значит, набрать нельзя. Вывод: нельзя.
4
Перед каждым из чисел $1, 2, 3, \dots, 7$ поставили знак «+» или «−» (по своему выбору) и вычислили сумму. Можно ли добиться, чтобы получилось ровно $10$ ?
Ответ: Можно
Если все знаки «+», сумма равна $1+2+\dots+7=28$ .
Замена «+» на «−» перед числом $a$ уменьшает сумму на $2a$ — чётное число. Значит, чётность суммы всегда такая же, как у $28$ : чётная.
Ещё сумма не может быть больше $28$ и меньше $-28$ .
Число $10$ подходит и по чётности, и по границам; нужные знаки подобрать можно (любое число от 0 до $28$ складывается из различных чисел $1\ldots 7$ ). Вывод: можно.
5
Кассир хочет выдать сдачу 7 р. ровно 8 монетами, имея монеты достоинством 1, 3, 5 рублей (по сколько угодно). Получится ли?
Ответ: Нельзя
Все достоинства нечётные, а сумма $8$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $8$ : она чётная. Нужная сумма $7$ — нечётная.
Кроме того, $8$ монет дают не меньше $8\cdot 1=8$ и не больше $8\cdot 5=40$ . Нужная сумма в эти границы не попадает.
Одно из условий нарушено — значит, набрать нельзя. Вывод: нельзя.

Коротко о теме

Чётность суммы — частый «запрет»: сумма нескольких нечётных чисел имеет ту же чётность, что их количество.
Рукопожатия и дружба: сумма чисел друзей равна удвоенному числу пар, значит, чётна.
Переворачиваем предметы: каждый должен быть перевёрнут нечётное число раз — считаем переворотов всего.
Если запрета по чётности нет, ищем пример: «нельзя» нужно доказывать, а «можно» — показывать.
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Чётность и инварианты»

Олимпиада, 5–6 класс: раскраска доски и покрытия

Другие темы: 5 класс