Олимпиады · 5–6 классыЛогика и перебор

Олимпиада, 5–6 класс: круги Эйлера — сколько их на самом деле?

Два и три пересекающихся множества: кто в обоих кругах, сколько ни в одном и сколько могло быть при самом неудачном (или удачном) раскладе.

Вариант № 83565

Олимпиада, 5–6 класс: круги Эйлера — сколько их на самом деле? · Вариант № 83565 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
В группе 35 туристов: 23 из них были в Казани, а 17 — были в Суздале. Каким наименьшим могло быть число тех, кто был и в Казани, и в Суздале?
Ответ: 5
В двух кругах вместе $23+17=40$ «мест», а людей всего $35$ .
Если $40>35$ , лишние $5$ мест неизбежно приходятся на тех, кто в обоих кругах: меньше быть не может. Иначе пересечение может быть пустым.
Ответ: $\max(0,\,23+17-35)=5$ (столько возможно, если все остальные «разведены» по разным кругам).
2
В группе 40 школьников. Из них 13 любят математику, 20 любят физику, а 14 не любят ни математику, ни физику. Сколько школьников любят и математику, и физику?
Ответ: 7
Хотя бы в одном круге: $40-14=26$ .
Сумма $13+20=33$ посчитала «обоих» дважды, поэтому «обоих» $33-26=7$ .
3
В группе 25 учеников. Из них 15 ходят на футбол, 16 ходят на шахматы, а 12 ходят и на футбол, и на шахматы. Сколько учеников не ходят ни на футбол, ни на шахматы?
Ответ: 6
Тех, кто хотя бы в одном круге: $15+16-12=19$ (тех, кто в двух кругах сразу, мы посчитали дважды).
Остальные: $25-19=6$ .
4
В группе 36 учеников. Из них 16 ходят на футбол, 20 ходят на шахматы, а 2 не ходят ни на футбол, ни на шахматы. Сколько учеников ходят и на футбол, и на шахматы?
Ответ: 2
Хотя бы в одном круге: $36-2=34$ .
Сумма $16+20=36$ посчитала «обоих» дважды, поэтому «обоих» $36-34=2$ .
5
В классе 35 учеников. Кружки: A — театр, B — кружок «Юный химик», C — волейбол. В A ходят 12, в B — 18, в C — 10; в A и B вместе — 6, в A и C — 4, в B и C — 9; во все три — 4. Сколько учеников не ходят ни в один из этих трёх кружков?
Ответ: 10
Формула включений и исключений: хотя бы в одном кружке $12+18+10-6-4-9+4=25$ .
Остальные: $35-25=10$ .

Коротко о теме

Сумма размеров двух множеств считает тех, кто в обоих, дважды: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .
Наименьшее пересечение при $|A|+|B|>n$ равно $|A|+|B|-n$ ; наибольшее — меньшее из $|A|$ , $|B|$ .
Три множества: $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ .
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Логика и перебор»

Другие темы: 5 класс