Олимпиада, 5–6 класс: взвешивания — фальшивая монета и гири

Ответ: 4

1. С $k$ гирями получаем не более $\frac{3^k-1}{2}$ разных положительных масс.
2. Нужно $\frac{3^k-1}{2}\ge 27$, откуда $k=4$; набор $1,3,9,\dots,3^{k-1}$ действительно подходит.

Ответ: 3

1. Всего возможностей $2n=12$ (какая монета и легче/тяжелее), а у $k$ взвешиваний $3^k$ исходов — значит, $3^k\ge 2n$.
2. Без запасной монеты один исход всегда «пропадает» (когда все равны, мы не знаем, легче или тяжелее), и можно проверить до $\frac{3^k-3}{2}$ монет.
3. Для $n=6$ наименьшее $k$, при котором $\frac{3^k-3}{2}\ge 6$, равно $3$ (при $k=3$ предел — 12).

Ответ: 27

1. У одного взвешивания три исхода: левая чаша легче, правая легче или равенство (фальшивая — среди неучаствующих). Делим монеты на три равные кучки: две кладём на весы, одну откладываем.
2. Каждое взвешивание уменьшает число подозреваемых в $3$ раза, поэтому за $3$ взвешиваний можно проверить $3^3=27$ монет.
3. Ответ: $27$.

Ответ: 3

1. Всего возможностей $2n=18$ (какая монета и легче/тяжелее), а у $k$ взвешиваний $3^k$ исходов — значит, $3^k\ge 2n$.
2. С запасной настоящей монетой удаётся использовать почти все исходы: за $k$ взвешиваний можно проверить до $\frac{3^k-1}{2}$ монет.
3. Для $n=9$ наименьшее $k$, при котором $\frac{3^k-1}{2}\ge 9$, равно $3$ (при $k=3$ предел — 13).

Ответ: 243

1. У одного взвешивания три исхода: левая чаша легче, правая легче или равенство (фальшивая — среди неучаствующих). Делим монеты на три равные кучки: две кладём на весы, одну откладываем.
2. Каждое взвешивание уменьшает число подозреваемых в $3$ раза, поэтому за $5$ взвешиваний можно проверить $3^5=243$ монет.
3. Ответ: $243$.