Олимпиада, 5–6 класс: раскраска доски и покрытия

Ответ: Нельзя

1. Отметим на доске $5\times 5$ девять клеток, у которых и номер строки, и номер столбца нечётные. В любом квадрате $2\times 2$ такая клетка ровно одна, а «уголок» помещается в квадрат $2\times 2$, поэтому один уголок накрывает не более одной отмеченной клетки.
2. Уголков в разбиении $8$, поэтому накрыть они могут не более $8$ отмеченных клеток, а клеток отмечено $9$.
3. Вырезанная клетка (5; 2) не из отмеченных, поэтому остаются все $9$ отмеченных, которые надо накрыть $8$ уголками, — не выйдет. Нельзя.

Ответ: Можно

1. Раскрасим доску в шахматном порядке. Каждая доминошка закрывает одну чёрную и одну белую клетку. После вырезания осталось 19 чёрных и 19 белых клеток (всего 38).
2. Поровну — но этого мало, нужно ещё убедиться, что доминошки действительно ложатся. Покрытие найдено; одинаковые буквы — одна доминошка:
3. $$\begin{array}{cccccccc}\text{а}&\text{а}&\text{б}&\text{б}&\text{в}&\text{в}&\blacksquare&\text{г}\\\blacksquare&\text{д}&\text{д}&\text{е}&\text{е}&\text{ж}&\text{ж}&\text{г}\\\text{з}&\text{з}&\text{и}&\text{и}&\text{к}&\text{к}&\text{л}&\text{л}\\\text{м}&\text{р}&\text{н}&\text{с}&\text{о}&\text{т}&\text{п}&\text{у}\\\text{м}&\text{р}&\text{н}&\text{с}&\text{о}&\text{т}&\text{п}&\text{у}\end{array}$$

Ответ: Нельзя

1. Раскрасим доску в шахматном порядке. Каждая доминошка закрывает одну чёрную и одну белую клетку. После вырезания осталось 24 чёрных и 22 белых клеток (всего 46).
2. Чёрных и белых клеток поровну нет — значит, покрыть доминошками без остатка нельзя.

Ответ: Нельзя

1. Отметим на доске $5\times 5$ девять клеток, у которых и номер строки, и номер столбца нечётные. В любом квадрате $2\times 2$ такая клетка ровно одна, а «уголок» помещается в квадрат $2\times 2$, поэтому один уголок накрывает не более одной отмеченной клетки.
2. Уголков в разбиении $8$, поэтому накрыть они могут не более $8$ отмеченных клеток, а клеток отмечено $9$.
3. Вырезанная клетка (2; 4) не из отмеченных, поэтому остаются все $9$ отмеченных, которые надо накрыть $8$ уголками, — не выйдет. Нельзя.

Ответ: 12

1. В шахматной раскраске осталось 12 чёрных и 14 белых клеток. Каждая доминошка закрывает ровно одну клетку каждого цвета, поэтому доминошек не больше $\min(12,14)=12$.
2. Это число достигается — расклад находится перебором (поиском наибольшего паросочетания клеток): $12$ доминошек.
3. Ответ: $12$.