Олимпиада, 5–6 класс: разрезания и сколько фигур на клетчатой бумаге

Ответ: 5

1. Жадный способ (каждый раз отрезать самый большой квадрат) даёт 5 квадратов: 2, 2, 2, 1, 1.
2. Перебрав все первые сквозные разрезы и решив ту же задачу для двух частей, получаем разбиение лучше или такое же: 3 квадрата 2×2, 2 квадрата 1×1 — всего $5$ квадратов.
3. Меньшим числом квадратов не обойтись: это подтверждает перебор всех способов разрезать (для таких небольших прямоугольников он быстрый). Ответ: $5$.

Ответ: 7

1. Жадный способ (каждый раз отрезать самый большой квадрат) даёт 9 квадратов: 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
2. Перебрав все первые сквозные разрезы и решив ту же задачу для двух частей, получаем разбиение лучше или такое же: 1 квадрат 5×5, 2 квадрата 4×4, 1 квадрат 3×3, 1 квадрат 2×2, 2 квадрата 1×1 — всего $7$ квадратов.
3. Меньшим числом квадратов не обойтись: это подтверждает перебор всех способов разрезать (для таких небольших прямоугольников он быстрый). Ответ: $7$.

Ответ: 1008

1. Прямоугольник определяется двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями сетки. Горизонтальных линий 9, вертикальных 8.
2. Выбрать пару горизонтальных можно $\frac{9\cdot 8}{2}=36$ способами, пару вертикальных — $\frac{8\cdot 7}{2}=28$ способами; всего $1008$ прямоугольников.
3. Ответ: $1008$.

Ответ: 11

1. Для $3\times n$ площадь $3n$ чётна только при чётном $n$ — поэтому берётся чётное $n$.
2. Разбираем левый край: либо вертикальная доминошка плюс горизонтальная пара, либо три горизонтальные — вариантов немного, и они сводятся к меньшим прямоугольникам.
3. Получаем последовательность 3, 11, 41, 153, … ($a_n=4a_{n-2}-a_{n-4}$), и $a_{4}=11$.

Ответ: 24

1. Вначале один кусок, в конце — 25 кусков (по числу долек).
2. Каждый разлом увеличивает число кусков ровно на 1 — не важно, какой кусок и по какой линии ломать.
3. Значит, разломов нужно 25−1=24 — при любом порядке разломов.