Олимпиады · 5–6 классыИгры и стратегии

Олимпиада, 5–6 класс: игры с камнями и доминошками — кто выигрывает?

Кучи камней, где можно брать несколько, и доминошки на доске: ищем проигрышные позиции и симметричную стратегию.

Вариант № 22533

Олимпиада, 5–6 класс: игры с камнями и доминошками — кто выигрывает? · Вариант № 22533 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
На столе 35 спичек. Двое игроков по очереди берут от 1 до 6 спичек. Тот, кто возьмёт последнюю спичку, выигрывает. Сколько предметов (камней или спичек) должен взять первый игрок первым ходом, чтобы гарантированно выиграть? Если выигрышной стратегии у первого нет, ответьте 0.
Ответ: 0
Если камней $7$ (или кратно $7$ ), ходящий проигрывает: сколько бы он ни взял (от 1 до 6), соперник доберёт до полного набора «до $7$ » и так далее.
Остаток от деления $35$ на $7$ : $0$ .
Остаток нулевой: любое число камней, которое берёт первый, соперник дополнит до $7$ . Выигрышной стратегии у первого нет. Ответ: $0$ .
2
Двое по очереди берут камни из кучи, в которой 43 камня. За один ход разрешается взять от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берёт последний камень. Сколько предметов (камней или спичек) должен взять первый игрок первым ходом, чтобы гарантированно выиграть? Если выигрышной стратегии у первого нет, ответьте 0.
Ответ: 0
Если остался один камень, ходящий вынужден его взять и проигрывает. Значит, позиции $1,\ 7,\ 13,\dots$ (с остатком $1$ при делении на $6$ ) проигрышные для ходящего.
Остаток от деления $43-1=42$ на $6$ : $0$ .
Остаток нулевой: любой ход первого отдаёт сопернику выигрыш. Ответ: $0$ .
3
Двое по очереди кладут на доску 2×5 доминошки $1\times 2$ (не накладывая на уже лежащие; доминошку можно класть и вдоль, и поперёк). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Ответ: Первый
Центр доски — середина границы между двумя клетками: туда можно положить доминошку, симметричную самой себе. Первый кладёт её первым ходом, а потом отвечает симметричным ходом на каждый ход второго. Первый выигрывает.
4
Двое по очереди кладут на доску 5×2 доминошки $1\times 2$ (не накладывая на уже лежащие; доминошку можно класть и вдоль, и поперёк). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Ответ: Первый
Центр доски — середина границы между двумя клетками: туда можно положить доминошку, симметричную самой себе. Первый кладёт её первым ходом, а потом отвечает симметричным ходом на каждый ход второго. Первый выигрывает.
5
На столе 20 спичек. Двое игроков по очереди берут от 1 до 6 спичек. Тот, кто возьмёт последнюю спичку, выигрывает. Сколько предметов (камней или спичек) должен взять первый игрок первым ходом, чтобы гарантированно выиграть? Если выигрышной стратегии у первого нет, ответьте 0.
Ответ: 6
Если камней $7$ (или кратно $7$ ), ходящий проигрывает: сколько бы он ни взял (от 1 до 6), соперник доберёт до полного набора «до $7$ » и так далее.
Остаток от деления $20$ на $7$ : $6$ .
Берём 6 камней — остаётся число, кратное $7$ . Дальше на ход соперника отвечаем ходом, дополняющим сумму до $7$ . Ответ: $6$ .

Коротко о теме

Идём с конца: позиция проигрышна, если из неё все ходы ведут в выигрышные, и выигрышна, если есть ход в проигрышную.
В игре «возьми от 1 до k, берущий последним выигрывает» проигрышны кучи, кратные $k+1$ .
Симметричная стратегия: если доска имеет центр симметрии, который не «пересекает» ход, второй игрок отвечает симметрично.
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Другие темы: 5 класс