Олимпиада, 5–6 класс: рыцари и лжецы — сколько рыцарей?

Ответ: 4

1. Рыцарь говорит правду, поэтому оба его соседа — лжецы: рыцари не сидят рядом.
2. Лжец лжёт, поэтому не оба его соседа лжецы: рядом с каждым лжецом есть рыцарь. Значит, между двумя ближайшими рыцарями сидят один или два лжеца (трое подряд нельзя: у среднего не было бы соседа-рыцаря).
3. Если рыцарей $k$, то лжецов от $k$ до $2k$. Поэтому $n=8$ делится так: $k\le 8-k\le 2k$, откуда $\frac{8}{3}\le k\le \frac{8}{2}$. Подходящие числа рыцарей: $3$, $4$.
4. Наибольшее: $4$.

Ответ: 16

1. Типы определяются по порядку слева направо: слова каждого касаются только тех, кто стоит левее, а они уже известны.
2. Первые восемь (Р — рыцарь, Л — лжец): Л Р Р Р Р Р Р Р…. Закономерность быстро становится видна.
3. Дойдя до последнего, получаем $16$ рыцарей и $1$ лжецов.

Ответ: 1

1. Если лжецов ровно $L$, то правду говорят те, кто назвал число $L$ — они рыцари. Значит, число назвавших $L$ должно быть равно $8-L$ (числу рыцарей).
2. Посчитаем, сколько раз названо каждое число: «0» — 1; «2» — 1; «3» — 1; «4» — 1; «6» — 1; «7» — 1; «8» — 2.
3. Условие «назвавших $L$ ровно $8-L$» выполняется только при $L=7$: назвали 1 человек, и $8-7=1$. Рыцарей $1$.

Ответ: 2

1. Лжец лжёт: «хотя бы один сосед — лжец» для него неверно, значит, оба его соседа — рыцари. Лжецы не стоят рядом.
2. Рыцарь говорит правду: у него есть сосед-лжец. Поэтому между двумя ближайшими лжецами рыцарей один или два (трое подряд нельзя).
3. Если лжецов $l$, то рыцарей от $l$ до $2l$: $l\le 6-l\le 2l$, откуда $\frac{6}{3}\le l\le \frac{6}{2}$, а число рыцарей $k=6-l$. Подходящие числа рыцарей: $3$, $4$.
4. Различных значений: $2$.

Ответ: 6

1. Рыцарь говорит правду, поэтому оба его соседа — лжецы: рыцари не сидят рядом.
2. Лжец лжёт, поэтому не оба его соседа лжецы: рядом с каждым лжецом есть рыцарь. Значит, между двумя ближайшими рыцарями сидят один или два лжеца (трое подряд нельзя: у среднего не было бы соседа-рыцаря).
3. Если рыцарей $k$, то лжецов от $k$ до $2k$. Поэтому $n=12$ делится так: $k\le 12-k\le 2k$, откуда $\frac{12}{3}\le k\le \frac{12}{2}$. Подходящие числа рыцарей: $4$, $5$, $6$.
4. Наибольшее: $6$.