Олимпиады · 6 классЧисла и цифры

Олимпиада, 6 класс: остатки, делимость и «хвосты» чисел

Последняя цифра степени, нули на конце факториала, признаки делимости со звёздочками, число из повторяющихся блоков и количество делителей.

Вариант № 78549

Олимпиада, 6 класс: остатки, делимость и «хвосты» чисел · Вариант № 78549 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
В записи числа 75*5504 вместо звёздочки можно поставить любую цифру. Сколькими способами это можно сделать, чтобы число делилось на 9?
Ответ: 1
Применяем признаки делимости к числу 75*5504.
Перебирая допустимые цифры, получаем ровно $1$ способов.
2
Какой цифрой оканчивается число $3^{423}$ ?
Ответ: 7
Последние цифры степеней $3^1,3^2,3^3,\dots$ : 3, 9, 7, 1, 3, … — повторяются с периодом $4$ .
Остаток $423$ при делении на $4$ равен $3$ , значит, нужна цифра номер 3 цикла.
Ответ: $7$ .
3
Сколько натуральных делителей у числа 180?
Ответ: 18
Разложим: $180$ на простые множители, у каждого простого $p$ в степени $k$ можно взять степень от $0$ до $k$ — это $k+1$ вариантов.
Перемножаем числа вариантов по всем простым: получаем $18$ .
4
Какой цифрой оканчивается число $4^{1109}$ ?
Ответ: 4
Последние цифры степеней $4^1,4^2,4^3,\dots$ : 4, 6, 4, … — повторяются с периодом $2$ .
Остаток $1109$ при делении на $2$ равен $1$ , значит, нужна цифра номер 1 цикла.
Ответ: $4$ .
5
Сколькими нулями оканчивается произведение $1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 117$ (то есть число 117!)?
Ответ: 27
Каждый ноль на конце — это множитель $10=2\cdot 5$ . Двоек в произведении намного больше, чем пятёрок, поэтому число нулей равно числу пятёрок в разложении.
Кратных $5$ среди чисел до $117$ — $23$ , кратных $25$ — $4$ .
Складываем: $27$ нулей.

Коротко о теме

Последние цифры степеней повторяются с периодом (у 2: 2, 4, 8, 6; у 3: 3, 9, 7, 1).
Нули на конце $n!$ даёт множитель 5: считаем $\lfloor n/5\rfloor+\lfloor n/25\rfloor+\dots$ .
Остаток от деления на 9 (и на 3) равен остатку суммы цифр; на 11 — знакопеременной суммы цифр.
Число делителей $p^a q^b\dots$ равно $(a+1)(b+1)\dots$ .
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.