Олимпиады · 5–6 классыКомбинаторика

Олимпиада, 5–6 класс: считаем способы — правило произведения

Числа из цифр, флаги, рассадка, турнирные матчи, лесенка из прыжков и выбор команды: учимся не перебирать, а умножать и вычитать.

Вариант № 15386

Олимпиада, 5–6 класс: считаем способы — правило произведения · Вариант № 15386 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
4 ребёнка садятся в ряд на 4 места. Аня и Боря хотят сидеть на разных краях ряда (один на крайнем левом месте, другой — на крайнем правом). Сколькими способами можно рассадить детей?
Ответ: 4
Аня и Боря занимают крайние места двумя способами (кто слева), остальные $2$ расставляются $(2)!$ способами.
Итого $2\cdot 2=4$ .
2
В классе 8 мальчиков и 8 девочек. Для конкурса выбирают команду из 3 мальчиков и 1 девочки. Сколькими способами можно составить команду?
Ответ: 448
Мальчиков выбираем $C_{8}^{3}=56$ способами, девочек — $C_{8}^{1}=8$ способами.
Выбор независим, поэтому перемножаем: $56\cdot 8=448$ .
3
Флаг состоит из 5 горизонтальных полос. Есть 4 цвета краски (красный и ещё 3). Сколько различных флагов можно сделать, если верхняя полоса красная, а соседние полосы разного цвета?
Ответ: 81
Верхняя полоса уже красная; каждая следующая — любой цвет, кроме цвета предыдущей: $3^{4}=81$ .
4
Флаг состоит из 4 горизонтальные полосы. Есть 3 цвета краски (красный и ещё 2). Сколько различных флагов можно сделать, если верхняя полоса красная, а соседние полосы разного цвета?
Ответ: 8
Верхняя полоса уже красная; каждая следующая — любой цвет, кроме цвета предыдущей: $2^{3}=8$ .
5
В классе 7 мальчиков и 4 девочек. Для конкурса выбирают команду из 2 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами можно составить команду?
Ответ: 126
Мальчиков выбираем $C_{7}^{2}=21$ способами, девочек — $C_{4}^{2}=6$ способами.
Выбор независим, поэтому перемножаем: $21\cdot 6=126$ .

Коротко о теме

Правило произведения: если выбор делается по шагам, числа вариантов на шагах перемножаются.
Если в выборе есть «капризное» условие, начинай с него (например, первая цифра не ноль).
Пары без порядка считаем через $\frac{n(n-1)}{2}$ ; «хотя бы один» удобно считать как «всего минус ни одного».
Лесенка и дорожка: число способов — сумма числа способов для предыдущих позиций.
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Другие темы: 5 класс