Олимпиады · 5–6 классыТекстовые задачи

Олимпиада, 5–6 класс: движение с хитростью — муха, эскалатор, часы

Задачи на движение, где не нужно считать каждый перелёт: муха между поездами, эскалатор, стрелки часов, круговая дорожка и средняя скорость.

Вариант № 35031

Олимпиада, 5–6 класс: движение с хитростью — муха, эскалатор, часы · Вариант № 35031 · Школьный тур · Имя: ____________________

1
Автомобиль ехал половину всего времени со скоростью 24 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость на всём пути?
Ответ: 32
Пусть каждая половина времени — $t$ часов. Путь: $24t+40t=64t$ , всё время $2t$ .
Средняя скорость $\frac{64t}{2t}=32$ км/ч — здесь она равна среднему арифметическому, потому что времена одинаковые.
2
Автомобиль ехал половину всего времени со скоростью 30 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 70 км/ч. Какова средняя скорость на всём пути?
Ответ: 50
Пусть каждая половина времени — $t$ часов. Путь: $30t+70t=100t$ , всё время $2t$ .
Средняя скорость $\frac{100t}{2t}=50$ км/ч — здесь она равна среднему арифметическому, потому что времена одинаковые.
3
Эскалатор метро движется вверх. Саша поднимается по нему и насчитал 36 ступенек, потом спускается с той же скоростью (относительно ступенек) против движения эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько ступенек видно на неподвижной части эскалатора (если бы он стоял)?
Ответ: 45
Пусть $v$ — скорость Саши в ступеньках за секунду (одна и та же вверх и вниз относительно ступенек), $e$ — скорость эскалатора, $N$ — число видимых ступенек.
Вверх: время $\frac{N}{v+e}$ , Саша насчитывает $v\cdot\frac{N}{v+e}=36$ . Вниз: время $\frac{N}{v-e}$ , насчитывает $\frac{vN}{v-e}=60$ .
Из этих равенств $\frac{v+e}{v}=\frac{N}{36}$ и $\frac{v-e}{v}=\frac{N}{60}$ . Складываем: $2=N\left(\frac1{36}+\frac1{60}\right)$ , откуда $N=\frac{2\cdot 36\cdot 60}{36+60}=45$ .
4
Сколько раз с 9:30 до 19:30 стрелки окажутся направленными в противоположные стороны (угол 180°)? Часы идут верно.
Ответ: 9
Минутная стрелка делает оборот за $60$ мин, часовая — за $720$ мин; относительная скорость $6-0{,}5=5{,}5$ градуса в минуту.
Стрелки противоположны каждые $\frac{720}{11}$ минуты, начиная с момента $\frac{360}{11}$ минуты после 12:00.
Длина промежутка 600 минут; считаем, сколько подходящих моментов попадает внутрь — получаем $9$ .
5
Автобус едет из города A в город B со скоростью 30 км/ч, а возвращается по той же дороге со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на всём пути туда и обратно.
Ответ: 42
Пусть расстояние $S$ . Время туда $\frac{S}{30}$ , обратно $\frac{S}{70}$ .
Весь путь $2S$ , всё время $S\left(\frac1{30}+\frac1{70}\right)=S\cdot\frac{100}{2100}$ .
Средняя скорость $\frac{2S}{S\cdot 100/2100}=\frac{2\cdot 30\cdot 70}{100}=42$ км/ч.

Коротко о теме

Если птица летит всё время до встречи, путь птицы = её скорость × время до встречи.
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время (не среднее арифметическое скоростей).
На круговой дорожке догоняют при одинаковом направлении, когда набирается лишний круг: время $\frac{t_1t_2}{t_2-t_1}$ .
Минутная и часовая стрелки сближаются с угловой скоростью $5{,}5^\circ$ в минуту.
Уровни: «Разминка» — тренировочная задача на одну идею, «Обычный» — задача школьного тура, «Challenge» — уровень регионального этапа (идеи нужно соединять).

Уровни: Тренировочная · Школьный тур · Региональный этап. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Текстовые задачи»

Олимпиада, 5–6 класс: текстовые задачи с неожиданным ходом

Другие темы: 5 класс