Алгебра 7–11 · 7 классФормулы сокращённого умножения

Куб суммы и разности, сумма и разность кубов

Формулы кубов: раскрываем $(a\pm b)^{3}$ и раскладываем $a^{3}\pm b^{3}$ на множители. Углублённая тема.

Вариант № 53213

Куб суммы и разности, сумма и разность кубов · Вариант № 53213 · Обычный · Имя: ____________________

1
Разложите на множители: $27x^{3}+27$ .
Ответ запиши без пробелов, степень — знаком ^ (например, 2x^2-x).
Ответ: $(3x+3)(9x^{2}-9x+9)$
Это сумма кубов: $27x^{3}=(3x)^{3}$ , $27=3^{3}$ .
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ .
Итог: $(3x+3)(9x^{2}-9x+9)$ .
2
Раскройте скобки по формуле куба суммы: $(3x+1)^{3}$ .
Ответ запиши без пробелов, степень — знаком ^ (например, 2x^2-x).
Ответ: $27x^{3}+27x^{2}+9x+1$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ , где $a=3x$ , $b=1$ .
Подставляем и считаем: $27x^{3}+27x^{2}+9x+1$ .
3
Разложите на множители: $27x^{3}-1$ .
Ответ запиши без пробелов, степень — знаком ^ (например, 2x^2-x).
Ответ: $(3x-1)(9x^{2}+3x+1)$
Это разность кубов: $27x^{3}=(3x)^{3}$ , $1=1^{3}$ .
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ .
Итог: $(3x-1)(9x^{2}+3x+1)$ .
4
Раскройте скобки по формуле куба суммы: $(2x+1)^{3}$ .
Ответ запиши без пробелов, степень — знаком ^ (например, 2x^2-x).
Ответ: $8x^{3}+12x^{2}+6x+1$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ , где $a=2x$ , $b=1$ .
Подставляем и считаем: $8x^{3}+12x^{2}+6x+1$ .
5
Разложите на множители: $8x^{3}-8$ .
Ответ запиши без пробелов, степень — знаком ^ (например, 2x^2-x).
Ответ: $(2x-2)(4x^{2}+4x+4)$
Это разность кубов: $8x^{3}=(2x)^{3}$ , $8=2^{3}$ .
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ .
Итог: $(2x-2)(4x^{2}+4x+4)$ .

Коротко о теме

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ , $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ .
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ и $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ .
Во втором множителе «неполный квадрат»: средний член без двойки, а знак перед $ab$ противоположен знаку в первой скобке.

Уровни: Разминка · Обычный · Challenge. Все ответы вычислены программой из тех же чисел, что и условие.

Ещё тренажёры

Раздел «Формулы сокращённого умножения»

Другие темы: 7 класс