Школа · 8–11 классы · ЕГЭ №18

Задачи с параметром: ползунок, который двигает график

Параметр — это ползунок. Двигаешь его — картинка меняется. Задача: найти положения, где она ведёт себя особо. Двигай ползунок справа и смотри, как скачками меняется число корней.

Придумать задачу Урок за 4 шага

Число корней на графике считает программа на каждое твоё движение.

Сколько корней у уравнения $\left|x^2-4\left|x\right|+3\right|=a$ ? Двигай ползунок $a$ .

корней

положение ползунка

a = 0,5

нет корней
2 корня
3 корня
4 корня
6 корней
8 корней

Подведи ползунок к отметке (он прилипает) или нажми на значение — расскажу, почему картина меняется именно здесь.

Урок

Как решать параметр: 4 шага

ШАГ 1 ИЗ 4

Кто главный: x или a?

В уравнении две буквы, но искать мы будем только одну. x — неизвестная: её значения ищем. a — параметр: число, которое дано, но не сказано какое. Поэтому уравнение — целая семья уравнений, по одному на каждое положение ползунка.

x — неизвестная

Ищем корни. На графике это пересечения с осью $Ox$ .

a — параметр

Ползунок. Двигает всю картинку; нужно найти особые положения.

при таком положении ползунка получилось уравнение

$x^2-2{,}5x+4=0$

корней

положение ползунка

a = 2,5

нет корней
1 корень
2 корня

ШАГ 2 ИЗ 4

Выбери метод — ответ один

Одну и ту же задачу $x^2-ax+4=0$ можно смотреть тремя способами. Переключай вкладки: ось $a$ внизу не меняется — ответ получается один и тот же.

Парабола $y=x^2-ax+4$ меняется вместе с $a$ . Корни — пересечения с осью $Ox$ . Аналитически: $D=a^2-16$ .

Во всех трёх видах граница ответа — $a=\pm4$ : там корни сливаются.

корней

положение ползунка

a = 2

нет корней
1 корень
2 корня

ШАГ 3 ИЗ 4

Найди особые значения

Число корней меняется не где попало, а только в особых положениях: когда линия касается вершины, проходит через излом, когда обращается в ноль коэффициент или знаменатель. Найди их на оси: двигай ползунок, смотри, где цвет оси меняется, и ставь флажки.

Здесь $\left|x^2-4\left|x\right|+3\right|=a$ , особых значений — 3. Флажки ставь рядом с границами цветов.

Флажков: 0

корня

положение ползунка

a = 2

нет корней
2 корня
3 корня
4 корня
6 корней
8 корней

ШАГ 4 ИЗ 4

Разбери случаи и запиши ответ

Особые значения режут ось $a$ на промежутки и отдельные точки. В каждом куске картина постоянна — проверь одного представителя. Отдельно проверь каждую точку: именно в них теряют граничные значения.

Определите, при каких $a$ уравнение $\left|x^2-4\left|x\right|+3\right|=a$ имеет ровно четыре корня.

твой ответ

$a\in \varnothing$

корня

положение ползунка

a = 2

условие выполнено

нет корней
2 корня
3 корня
4 корня
6 корней
8 корней

Типичные ошибки

Три ошибки, на которых теряют баллы

Каждая показана на настоящей задаче: неверный ответ, верный ответ и положение ползунка, где они расходятся.

ОШИБКА 1 ИЗ 3

Потерянная граничная точка

При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{-x^{2}+16}=\frac{3}{4}x+a$ имеет ровно один корень?

Ученик нашёл положения, где прямая касается и где проходит через конец полуокружности, и записал все промежутки с круглыми скобками: «в концах всегда строго».

так записал ученик

$a\in (-3;3)\cup \{5\}$

верный ответ

$a\in [-3;3)\cup \{5\}$

При $a=-3$ ответ ученика говорит «не подходит», а на самом деле условие выполняется — убедись на графике справа.

При $a=-3$ прямая проходит через конец полуокружности $(4;\,0)$ — и это единственная общая точка. Значит, $a=-3$ в ответ входит, скобка квадратная.

общая точка

положение ползунка

a = −3

условие выполнено

нет решений
1 решение
2 решения

ОШИБКА 2 ИЗ 3

Потерянный случай: коэффициент при x² равен нулю

Определите, при каких $a$ уравнение $(a-2)x^2+6x+a-2=0$ имеет ровно один корень.

Ученик сразу приравнял дискриминант к нулю, нашёл два значения и успокоился. Но уравнение квадратное, только пока $a\ne2$ .

так записал ученик

$a\in \{-1\}\cup \{5\}$

верный ответ

$a\in \{-1\}\cup \{2\}\cup \{5\}$

При $a=2$ ответ ученика говорит «не подходит», а на самом деле условие выполняется — убедись на графике справа.

При $a=2$ уравнение превращается в $6x=0$ — линейное, один корень $x=0$ . Это ещё одно значение, при котором корень ровно один.

корень

положение ползунка

a = 2

условие выполнено

нет корней
1 корень
2 корня

ОШИБКА 3 ИЗ 3

Забытая область определения

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $\frac{(x-a)(x-3)}{x+1}=0$ имеет ровно один корень.

Ученик приравнял числитель к нулю: корни $x=a$ и $x=3$ . «Корень один, когда они совпали: $a=3$ ». Знаменатель он не вспомнил.

так записал ученик

$a\in \{3\}$

верный ответ

$a\in \{-1\}\cup \{3\}$

При $a=-1$ ответ ученика говорит «не подходит», а на самом деле условие выполняется — убедись на графике справа.

Значение $x=-1$ запрещено. При $a=-1$ корень $x=a$ выпадает, остаётся только $x=3$ — корень снова один.

корень

положение ползунка

a = −1

условие выполнено

1 корень
2 корня

Генератор

Придумать задачу

Выбери уровень и тип, получи новую задачу, ответь вариантом или своей записью. Номер варианта в ссылке повторяет задачу.

Тип задачиВариант №

вариант № 1 · Квадратное уравнение с параметром · обычный

Определите, при каких $a$ уравнение $x^2-(2a-4)x+5a-10=0$ имеет два различных положительных корня.

корней

положение ползунка

a = 4,5

нет корней
2 корня, оба > 0
2 корня, разных знаков

Как совет придумал эту задачу

Сценарист (правила): Уровень 2: колода блока 1 раскладывает 12 задач по весам семейств; на месте 2 выпало «Квадратное уравнение с параметром» (в блоке таких мест — 2, соседних повторов нет). Класс вопроса «знаки корней» выбран с весом 42 %.

Алгебраист (правила и точные дроби): попыток 24, собрано 16 кандидатов (шаблоны: L, M, X). Отсеяно: шаблон не дал красивых критических значений — 5; ответ пуст — 3.

Критик (нейросеть 18→10→1): оценил 16 кандидатов, оценки от 0.61 до 0.90, в среднем 0.72; выбрал лучшего (0.90).

Проверяющий (численный пересчёт): прогнал 1 кандидата, проверил 94 значений a, отвергнуто 0.

Объясняльщик (шаблоны текста): собрал четыре шага и кадры графика.

Примеры

13 разобранных задач

Ответ каждой перепроверен сканированием. Открой разбор — график оживёт, а кнопки «показать a = …» поставят ползунок в нужное место.

Определите, при каких $a$ уравнение $\left|x^2-4\left|x\right|+3\right|=a$ имеет ровно четыре корня.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $\left|\left|x-1\right|-2\right|=a$ имеет ровно два корня?
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $\left|x-1\right|+\left|x-4\right|=a$ имеет бесконечно много корней.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2-ax+9=0$ имеет ровно один корень?
Определите, при каких $a$ уравнение $(a-2)x^2+6x+a-2=0$ имеет ровно один корень.
Определите, при каких $a$ уравнение $x^2-2ax+5a=0$ имеет два различных положительных корня.
Определите, при каких $a$ уравнение $x^2-(2a-4)x+4a-8=0$ имеет два различных корня, и оба меньше $3$ .
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a^{2}-4)x=a+2$ не имеет корней?
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $\frac{(x-a)(x-3)}{x+1}=0$ имеет ровно один корень.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{-x^{2}+16}=\frac{3}{4}x+a$ имеет ровно один корень?
Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система $\begin{cases}x^2+y^2=9\\ y=a(x-5)\end{cases}$ имеет ровно два решения.
При каких значениях параметра $a$ система $\begin{cases}x+ay=3\\ ax+9y=9\end{cases}$ не имеет решений?
При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a-3)x^2+8x+a-3\ge 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$ ?

Как устроен совет мозгов

Пять помощников — и только один из них нейросеть

Слово «нейромозг» здесь означает совет из пяти частей. Ниже написано ровно то, что каждая часть делает.

Сценарист
правила
Выбирает семейство задач и вид вопроса по таблице весов уровня. Чтобы задачи не повторялись, каждые 12 номеров раскладываются «колодой» без соседних повторов. Нейросети здесь нет.
Алгебраист
правила
Строит задачу «от ответа назад» (сначала особые значения, потом уравнение) и решает её точно — дробями, по случаям. Слишком близкие, некрасивые и иррациональные значения отбрасывает. Обучения нет.
Критик
нейросеть
Нейросеть-перцептрон: 18 признаков → 10 скрытых нейронов → 1 выход. Из 16 кандидатов выбирает самого полезного для учёбы.
Проверяющий
численный пересчёт
Не знает формул решения. Двигает a по мелкой сетке, считает корни сканированием по x (для систем — по углу на окружности и методом Гаусса) и сверяет с точным ответом. Не сошлось — задачу не выдаёт.
Объясняльщик
правила
Шаблоны текста: четыре шага и кадры графика в нужных положениях ползунка. Не нейросеть и не языковая модель.

Чему и как учился Критик

Сеть содержит 201 параметра. Её обучил скрипт на 5676 задачах всех семейств и уровней: 4541 — на обучение, 1135 отложены для проверки.

Учителя и дети задачи не оценивали. Метка — формула учебной ценности, которую написал человек: число случаев на оси (лучше 3–6), форма ответа, красота границ, ширина самого узкого промежутка и то, что условие выполняется «не всегда и не никогда». Формула сама сканирует ось a, а сети достаются только дешёвые признаки — она учится предсказывать метку без сканирования.

Если формула неверна, Критик ошибётся так же. Это инструмент отбора, а не педагогическая оценка.

0,681
R² на отложенных задачах: 0,825
корреляция оценки сети и метки: 0,768
средняя ценность случайного выбора из 12: 0,931
средняя ценность выбора Критика из 12

Чего программа не умеет

Границы ответа всегда рациональные и небольшие: задачи вида a = 2√2 генератор не строит.
Нет задач с параметром в показательных, логарифмических и тригонометрических уравнениях.
Уровни сложности — эвристика (набор шаблонов и размер коэффициентов), а не измеренная трудность.
Проверяющий проверяет выданную задачу, а не все 16 кандидатов; массовую проверку (по 300 задач на каждое семейство) делает отдельный самотест.

Вопросы и ответы

Что такое параметр и чем он отличается от неизвестной?

Неизвестная (обычно x) — то, что мы ищем при каждом фиксированном a. Параметр (a) — число, которое задано, но не сказано какое: оно как ползунок, двигающий всю картинку. Задача с параметром просит найти положения ползунка, при которых картина ведёт себя нужным образом: например, у уравнения ровно три корня.

С чего начать решать задачу с параметром?

С четырёх шагов: 1) понять, где параметр, а где неизвестная; 2) выбрать метод — по случаям, графический или «a как переменная»; 3) найти особые значения параметра (дискриминант равен нулю, вершина, излом, деление на ноль); 4) разобрать случаи и записать ответ промежутками, не потеряв граничные точки.

Почему так легко потерять ответ в задаче с параметром?

Чаще всего теряют три вещи: граничную точку (скобка должна быть квадратной), случай, когда обращается в ноль коэффициент при старшей степени, и область определения (корень, попавший на запрещённое значение знаменателя). На странице есть по примеру на каждую ошибку — с графиком, где она видна.

Как устроен генератор и можно ли ему верить?

Ответ каждой задачи программа находит точно (дробями, по случаям), а затем независимо пересчитывает сканированием: двигает параметр по мелкой сетке и считает корни. Задача выдаётся, только когда два способа совпали. Выбирает задачу из кандидатов маленькая нейросеть; все остальные части — правила. Подробности и измеренные цифры — в разделе «Как устроен совет мозгов».